Question

11．如圖，在底面為菱形的四棱錐P-ABCD中，∠BAD=120°，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=6，E是棱PD的三等分點（PE＞ED），F(xiàn)是棱PC的中點，底面對角線AC與BD相交于點O．
（Ⅰ）求證：BD⊥PC；
（Ⅱ）求三棱錐A-CEF的體積．

Answer 1

分析 （I）由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD，由菱形ABCD可得BD⊥AC，即可證明BD⊥平面PAC；
（II）設點E到平面PAC的距離為d，由E是棱PD的三等分點（PE＞ED），BD⊥平面PAC，可得d=$\frac{2}{3}OD$，利用三棱錐A-CEF的體積V=V_E-AFC=$\frac{1}{3}×d×{S}_{△AFC}$，即可得出．

解答 （I）證明：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD，
由菱形ABCD可得BD⊥AC，PA∩AC=A．
∴BD⊥平面PAC，
∴BD⊥PC；
（II）解：菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=6．
則OA=3，OD=$3\sqrt{3}$．
設點E到平面PAC的距離為d，
∵E是棱PD的三等分點（PE＞ED），BD⊥平面PAC，
∴d=$\frac{2}{3}OD$=2$\sqrt{3}$，
∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥AC．
∴S_△PAC=$\frac{1}{2}$×6²=18．
∴S_△AFC=$\frac{1}{2}{S}_{△PAC}$=9．
∴三棱錐A-CEF的體積V=V_E-AFC=$\frac{1}{3}×d×{S}_{△AFC}$=$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×9$=6$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質定理、三棱錐的體積計算公式、菱形的性質、等邊三角形與直角三角形的邊角關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．