Question

6．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E分別為CC₁、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BB₁上的點(diǎn)，且B₁F=3BF．
（1）證明：EF∥平面ABC；
（2）若AC=2$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{2}$，∠ACB=$\frac{π}{3}$，且二面角D-AB-C的正切值為$\sqrt{2}$，求三棱錐F-ABD的體積．

Answer 1

分析 （1）取AC中點(diǎn)G，連接EG、EF、BG，由已知可證得四邊形BFEG為平行四邊形，得EF∥BG，然后由線面平行的判斷證得EF∥平面ABC；
（2）由已知利用余弦定理可得∠ABC=90°，從而得到∠DBC為二面角D-AB-C的平面角，進(jìn)一步求得CD，BF的值，然后代入三棱錐的體積公式得答案．

解答 （1）證明：如圖，
取AC中點(diǎn)G，連接EG、EF、BG，
則EG=$\frac{1}{2}CD=\frac{1}{4}C{C}_{1}=\frac{1}{4}B{B}_{1}$，EG∥CC₁∥BB₁，
又BF=$\frac{1}{4}B{B}_{1}$，
∴四邊形BFEG為平行四邊形，則EF∥BG，
又EF?面ABC，BG?面ABC，
∴EF∥平面ABC；
（2）解：∵AC=2$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{2}$，∠ACB=$\frac{π}{3}$，
∴$AB=\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}-2×2\sqrt{2}×\sqrt{2}cos\frac{π}{3}}$=$\sqrt{6}$，
∴AB²+BC²=AC²，即∠ABC=90°，
∴∠DBC為二面角D-AB-C的平面角，
由tan∠DBC=$\sqrt{2}$，得$CD=\sqrt{2}BC=2$，
∴BF=$\frac{1}{2}CD=1$，
∴${V}_{F-ABD}={V}_{A-BFD}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}×\sqrt{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本小題主要考查空間線面關(guān)系、二面角的度量、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，是中檔題．