Question

5．設(shè)點(diǎn)F為橢圓$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右焦點(diǎn)，點(diǎn)$P（1，\frac{3}{2}）$在橢圓E上，已知橢圓E的離心率為$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)F的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，記△ABP三條邊所在直線的斜率的乘積為t，求t的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$可得a=2c，$b=\sqrt{3}c$；再由點(diǎn)$P（1，\frac{3}{2}）$在橢圓E可求出橢圓E的方程；
（Ⅱ）可知直線l的斜率存在，而右焦點(diǎn)F（1，0），故設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），與橢圓的交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），從而聯(lián)立方程再用韋達(dá)定理可得${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$，再寫(xiě)出k_PA=$\frac{{y}_{1}-\frac{3}{2}}{{x}_{1}-1}$，k_PB=$\frac{{y}_{2}-\frac{3}{2}}{{x}_{2}-1}$，從而化簡(jiǎn)t=k_PA×k_PB×k=$\frac{{{y_1}-\frac{3}{2}}}{{{x_1}-1}}×\frac{{{y_2}-\frac{3}{2}}}{{{x_2}-1}}×k$=$（-k-\frac{3}{4}）×k=-{k^2}-\frac{3}{4}k$．從而由配方法求最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)$c=\sqrt{{a^2}-{b^2}}$，由題意，得$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，
所以 a=2c，$b=\sqrt{3}c$．
則橢圓方程為 $\frac{x^2}{{4{c^2}}}+\frac{y^2}{{3{c^2}}}=1$，
又點(diǎn)$P（1，\frac{3}{2}）$在橢圓上，
所以 $\frac{1}{{4{c^2}}}+\frac{3}{{4{c^2}}}=1$，解得c²=1，
故橢圓方程為 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（Ⅱ）由題意，直線l的斜率存在，右焦點(diǎn)F（1，0），
設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），與橢圓的交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由 $\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$消去y，
得 （3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．
由題意，可知△＞0，
則有 ${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$，
所以直線PA的斜率k_PA=$\frac{{y}_{1}-\frac{3}{2}}{{x}_{1}-1}$，直線PB的斜率k_PA=$\frac{{y}_{2}-\frac{3}{2}}{{x}_{2}-1}$，
所以t=k_PA×k_PB×k=$\frac{{{y_1}-\frac{3}{2}}}{{{x_1}-1}}×\frac{{{y_2}-\frac{3}{2}}}{{{x_2}-1}}×k$
=$\frac{{[k（{x_1}-1）-\frac{3}{2}]×[k（{x_2}-1）-\frac{3}{2}]}}{{{x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）+1}}×k$
=$\frac{{{k^2}[{x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）+1]-\frac{3}{2}k（{x_1}+{x_2}-2）+\frac{9}{4}}}{{{x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）+1}}×k$
=$[{k^2}+\frac{{-\frac{3}{2}k（{x_1}+{x_2}-2）+\frac{9}{4}}}{{{x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）+1}}]×k$=$（-k-\frac{3}{4}）×k=-{k^2}-\frac{3}{4}k$．
即 $t=-{k^2}-\frac{3}{4}k=-{（k+\frac{3}{8}）^2}+\frac{9}{64}$，
所以當(dāng)$k=-\frac{3}{8}$時(shí)，△ABP三條邊所在直線的斜率的乘積t有最大值$\frac{9}{64}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，化簡(jiǎn)很復(fù)雜，屬于難題．