Question

16．如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，底面ABCD直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2BC=2，$CD=\sqrt{3}$，平面PAD⊥底面ABCD，若M為AD的中點．
（Ⅰ）求證：BM⊥面PAD；
（Ⅱ）在線段PC上是否存在點E，使二面角E-BM-C等于30°，若存在，求$\frac{PE}{EC}$的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）通過證明BM⊥AD，利用平面PAD與底面ABCD垂直的性質(zhì)定理證明BM⊥平面PAD．
（II）建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點的坐標(biāo)，求出平面BMC的法向量，設(shè)E（x，y，z），設(shè)$\overrightarrow{PE}=t\overrightarrow{EC}（t＞0）$，求出平面EBM法向量，通過二面角E-BM-C等于30°，列出方程求解t，即可判斷是否存在點E，滿足題意．

解答 （I）證明：∵AD∥BC，AD=2BC，M為AD的中點，
∴四邊形BCDM為平行四邊形，…（2分）
∴BM∥CD，∵∠ADC=90°，
∴BM⊥AD，…（4分）
又∵平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BM⊥平面PAD；…（6分）
（II）解：側(cè)面PAD是正三角形，M為AD的中點，∴PM⊥AD，
由（I）知PM、AD、MB兩兩垂直，…（7分）
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則M（0，0，0），$P（0，0，\sqrt{3}）$，$B（0，\sqrt{3}，0）$，$C（-1，\sqrt{3}，0）$，
平面BMC的法向量為n=（0，0，1），…（8分）
設(shè)E（x，y，z），則$\overrightarrow{PE}=（x，y，z-\sqrt{3}）$，
$\overrightarrow{EC}=（-1-x，\sqrt{3}-y，-z）$，
設(shè)$\overrightarrow{PE}=t\overrightarrow{EC}（t＞0）$，
則$\left\{\begin{array}{l}x=t（-1-x）\\ y=t（\sqrt{3}-y）\\ z-\sqrt{3}=t（-z）\end{array}\right.$，$E（-t，\sqrt{3}t，\sqrt{3}）$，…（9分）
∵$\overrightarrow{MB}=（0，\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{ME}=（-t，\sqrt{3}t，\sqrt{3}）$，
∴平面EBM法向量為${m}=（\sqrt{3}，0，t）$，…（10分）
二面角E-BM-C等于30°，∴$|{\frac{{{n}•{m}}}{{|{n}||{m}|}}}|=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
即$\frac{t}{{\sqrt{3+0+{t^2}}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，解得t=3，
∴存在點E，$\frac{PM}{MC}=3$．   …（12分）

點評 本題考查平面與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，二面角的求法與應(yīng)用，存在性問題的處理方法，考查空間想象能力以及計算能力．