Question

7．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a≥b，sinA+$\sqrt{3}$cosA=2sinB．
（1）求角C的大��；
（2）若c=2，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）使用兩角和的正弦函數(shù)公式即可得出A，B的關(guān)系，從而得出C的值；
（2）使用余弦定理和基本不等式求出ab的最大值，繼而得出三角形面積的最大值．

解答 解：（1）∵sinA+$\sqrt{3}$cosA=2sinB，∴2sin（A+$\frac{π}{3}$）=2sinB．即sin（A+$\frac{π}{3}$）=sinB，
∵a≥b，∴A≥B，
∴A+$\frac{π}{3}$=π-B，即A+B=$\frac{2π}{3}$，
∴C=π-（A+B）=$\frac{π}{3}$．
（2）由余弦定理得cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}-4}{2ab}$=$\frac{1}{2}$．
∴a²+b²=ab+4≥2ab，∴ab≤4．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{\sqrt{3}}{4}ab$≤$\sqrt{3}$．
∴△ABC的面積的最大值是$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了兩角和的正弦函數(shù)公式，余弦定理及三角形的面積公式，屬于中檔題．