Question

在平面直角坐標(biāo)系中，定義：一條直線經(jīng)過一個點（x，y），若x，y都是整數(shù)，就稱該直線為完美直線，這個點叫直線的完美點，若一條直線上沒有完美點，則就稱它為遺憾直線．現(xiàn)有如下幾個命題：
①如果k與b都是無理數(shù)，則直線y=kx+b一定是遺憾直線；
②“直線y=kx+b是完美直線”的充要條件是“k與b都是有理數(shù)”；
③存在恰有一個完美點的完美直線；
④完美直線l經(jīng)過無窮多個完美點，當(dāng)且僅當(dāng)直線l經(jīng)過兩個不同的完美點．
其中正確的命題是

 

．（寫出所有正確命題的編號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：直線與圓,簡易邏輯

分析：①不正確，如果取k=

3

，b=

3

，那么直線y=

3

x+

3

經(jīng)過完美點（-1，0），是完美直線；
②由①知當(dāng)k=b=

3

時，k與b均為無理數(shù)，但是直線y=

3

x+

3

是完美直線，即可判斷出正誤；
③設(shè)直線方程為y=

5

x，只經(jīng)過了一個完美點（0，0），即可判斷出正誤；
④，設(shè)y=kx為過原點的完美直線，若此直線l過不同的完美點（x₁，y₁）和（x₂，y₂），可得（x₁-x₂，y₁-y₂）也在完美直線y=kx上，且（x₁-x₂，y₁-y₂）也為完美點，通過這種方法得到直線l經(jīng)過無窮多個完美點．

解答： 解：對于①，如果取k=

3

，b=

3

，那么直線y=

3

x+

3

經(jīng)過完美點（-1，0），是完美直線，所以①錯誤；
對于②，由①知當(dāng)k=b=

3

時，k與b均為無理數(shù)，但是直線y=

3

x+

3

是完美直線，所以②錯誤；
對于③，設(shè)直線方程為y=

5

x，只經(jīng)過了一個完美點（0，0），所以③正確；
對于④，設(shè)y=kx為過原點的完美直線，若此直線l過不同的完美點（x₁，y₁）和（x₂，y₂），把兩點代入完美直線l的方程得y₁=kx₁，y₂=kx₂，兩式相減得y₁-y₂=k（x₁-x₂），則（x₁-x₂，y₁-y₂）也在完美直線y=kx上，且（x₁-x₂，y₁-y₂）也為完美點，通過這種方法得到直線l經(jīng)過無窮多個完美點，所以④正確．
故答案為：③④．

點評：本題考查了新定義“完美直線”、通過舉反例否定一個命題的方法，考查了推理能力，屬于中檔題．