Question

設(shè)為常數(shù)，已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)．
（1）設(shè)為函數(shù)的圖像上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離的最小值；
（2）若對任意的且，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）．（Ⅱ）．

試題分析：（Ⅰ）∵在區(qū)間上是增函數(shù)，
∴當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，所以．
又在區(qū)間上是減函數(shù)，
故當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，所以．
綜上，．
由，得，
令，則，而，
所以的圖象上處的切線與直線平行，
所以所求距離的最小值為．              （6分）
（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010604648647.png" style="vertical-align:middle;" />，則，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立，所以，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以上是減函數(shù)，
從而，
所以當(dāng)時(shí)，，即恒成立，所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010605100576.png" style="vertical-align:middle;" />在上是減函數(shù)，所以，
從而，即，
故實(shí)數(shù)的取值范圍是．                    （12分）
點(diǎn)評：近幾年新課標(biāo)高考對于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)這一綜合問題的命制，一般以有理函數(shù)與半超越（指數(shù)、對數(shù)）函數(shù)的組合復(fù)合且含有參量的函數(shù)為背景載體，解題時(shí)要注意對數(shù)式對函數(shù)定義域的隱蔽，這類問題重點(diǎn)考查函數(shù)單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算、不等式方程的求解等基本知識(shí)，注重?cái)?shù)學(xué)思想（分類與整合、數(shù)與形的結(jié)合）方法（分析法、綜合法、反證法）的運(yùn)用.把數(shù)學(xué)運(yùn)算的“力量”與數(shù)學(xué)思維的“技巧”完美結(jié)合