【題目】已知函數(shù),.
(1)若在處取得極值,求的值;
(2)設(shè),試討論函數(shù)的單調(diào)性;
(3)當(dāng)時(shí),若存在正實(shí)數(shù)滿足,求證:.
【答案】(1).(2)見解析(3)見解析
【解析】
(Ⅰ)由題意,求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù),即可求解;
(Ⅱ)由題意,得 ,求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù),分類討論,即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)代入,求出,令,,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,即可作出證明.
(1)因?yàn)?/span>,所以,
因?yàn)?/span>在處取得極值,
所以,解得.
驗(yàn)證:當(dāng)時(shí),在處取得極大值.
(2)解:因?yàn)?/span>
所以.
①若,則當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞減.
②若,,
當(dāng)時(shí),易得函數(shù)在和上單調(diào)遞增,
在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),恒成立,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),易得函數(shù)在和上單調(diào)遞增,
在上單調(diào)遞減.
(3)證明:當(dāng)時(shí),,
因?yàn)?/span>,
所以,
即,
所以.
令,,
則,
當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.
所以函數(shù)在時(shí),取得最小值,最小值為.
所以,
即,所以或.
因?yàn)?/span>為正實(shí)數(shù),所以.
當(dāng)時(shí),,此時(shí)不存在滿足條件,
所以.
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(2)過點(diǎn)的直線橢圓于另一點(diǎn),點(diǎn)在直線上,且.若,求直線的斜率.
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A. B.
C. D.
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【題目】已知函數(shù)
(1)討論的奇偶性,并說明理由;
(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若在上有最大值9,求的值.
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【題目】已知數(shù)列滿足, ,其中.
(1)設(shè),求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求出的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,是否存在正整數(shù),使得對(duì)于恒成立,若存在,求出的最小值,若不存在,請(qǐng)說明理由.
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【題目】函數(shù)是定義在(-1,1)上的奇函數(shù),且.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)證明函數(shù)f(x)在(-1,1)上是增函數(shù).
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【題目】已知函數(shù)f(x)=excos x-x.
(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.
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【題目】已知集合,其中, , . 表示中所有不同值的個(gè)數(shù).
()設(shè)集合, ,分別求和.
()若集合,求證: .
()是否存在最小值?若存在,求出這個(gè)最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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(II)從甲、乙兩個(gè)班每天平均學(xué)習(xí)時(shí)間大于10個(gè)小時(shí)的學(xué)生中任取4人參加測(cè)試,設(shè)4人中甲班學(xué)生的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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