Question

1．已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}$）是定義域為R的奇函數(shù)，且當(dāng)x=2時，f（x）取得最大值2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）=2+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 現(xiàn)根據(jù)函數(shù)的奇偶性和最值求出函數(shù)的解析式為f（x）=2sin$\frac{π}{4}$x，可得函數(shù)f（x）的直銷正周期8，求得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）=0，可得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）的值．

解答 解：已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}$）是定義域為R的奇函數(shù)，∴φ=kπ，k∈Z，
而|φ|≤$\frac{π}{2}$，故φ=0，∴f（x）=Asinωx．
再根據(jù)x=2時，f（x）取得最大值2，可得A=2，且2sin2ω=2，即sin2ω=1，
故 2ω=$\frac{π}{2}$，即ω=$\frac{π}{4}$，故y=2sin$\frac{π}{4}$x，
故函數(shù)f（x）的最小正周期為 $\frac{2π}{\frac{π}{4}}$=8，
故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）=0，再根據(jù)100=8×12+4，
可得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）=12×0+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+2$\sqrt{2}$．
故答案為：2+2$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性，誘導(dǎo)公式，利用函數(shù)的周期性求函數(shù)的值，屬于中檔題．