Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$=（3，4），$\overrightarrow$=（9，x），$\overrightarrow{c}$=（4，y），且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{c}$．
（1）求$\overrightarrow$和$\overrightarrow{c}$；
（2）求2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$的夾角θ的余弦值．

Answer 1

分析 （1）運用向量共線和垂直的條件，解方程可得x，y，即可得到所求向量；
（2）求得2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$的坐標(biāo)，運用向量的模的公式和向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，計算即可得到所求值．

解答 解（1）因為向量$\overrightarrow{a}$=（3，4），$\overrightarrow$=（9，x），$\overrightarrow{c}$=（4，y），且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{c}$．
所以3x=4×9，12+4y=0，
解得x=12，y=-3，
所以$\overrightarrow$=（9，12），$\overrightarrow{c}$=（4，-3），
（2）2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（-3，-4），$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$=（7，1），
則cosθ=$\frac{（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}）}{|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow|•|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}|}$=$\frac{-3×7-4}{\sqrt{9+16}•\sqrt{49+1}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查平面向量共線和向量垂直的條件，以及向量夾角公式的運用，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．