Question

7．釣魚島及其附近海域自古以來就是中國人民進行捕魚、避風(fēng)、休息的場所，被譽為深海中的翡翠．某學(xué)校就釣魚島有關(guān)常識隨機抽取了16名學(xué)生進行測試，用“10分制”以莖葉圖方式記錄了他們對釣魚島的了解程度，分數(shù)以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉．
（1）指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；
（2）若所得分數(shù)不低于9.5分，則稱該學(xué)生對釣魚島“非常了解”．求從這16人中隨機選取3人，求至多有1人“非常了解”的概率；
（3）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計該所學(xué)校學(xué)生的總體數(shù)據(jù)，若從該所學(xué)校（人數(shù)可視為很多）任選3人，記ξ表示抽到“非常了解”的人數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）利用莖葉圖的數(shù)據(jù)得出眾數(shù)：8.6； 中位數(shù)：$\frac{8.7+8.8}{2}$=8.75，
（2）判斷出概率類型為古典類型，運用排列知識求解即可P（A）=P（A₀）+P（A₁）=$\frac{{C}_{12}^{3}}{{C}_{16}^{3}}$$+\frac{{{C}_{4}^{1}C}_{12}^{2}}{{C}_{16}^{3}}$
（3）方法1：判斷運用對立重復(fù)試驗，求解概率，得出分布列，求解數(shù)學(xué)期望即可．
方法2：直接運用則ξ～B（3，$\frac{1}{4}$），得出數(shù)學(xué)期望E（ξ）=3×$\frac{1}{4}$．

解答 解：（1）眾數(shù)：8.6；    中位數(shù)：$\frac{8.7+8.8}{2}$=8.75，
（2）設(shè)A_i表示所取3人中有i個人對釣魚島“非常了解”，至多有1人對釣魚島“非常了解”記為事件A，
則P（A）=P（A₀）+P（A₁）=$\frac{{C}_{12}^{3}}{{C}_{16}^{3}}$$+\frac{{{C}_{4}^{1}C}_{12}^{2}}{{C}_{16}^{3}}$=$\frac{121}{140}$；   
（3）ξ的可能取值為0，1，2，3．
P（ξ=0）=（$\frac{3}{4}$）³=$\frac{27}{64}$；P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}$×$\frac{1}{4}$×（$\frac{3}{4}$）²=$\frac{27}{64}$；
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}$×（$\frac{1}{4}$）²×$\frac{3}{4}$=$\frac{9}{64}$；P（ξ=3）=（$\frac{1}{4}$）³=$\frac{1}{64}$
所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

E（ξ）=0×$\frac{27}{64}$$+1×\frac{27}{64}$$+2×\frac{9}{64}$$+3×\frac{1}{64}$=0.27，
另解：ξ的可能取值為0，1，2，3．則ξ～B（3，$\frac{1}{4}$），
P（ξ=k）=${C}_{3}^{k}$×（$\frac{1}{4}$）^k×（$\frac{3}{4}$）^3-k．
所以E（ξ）=3×$\frac{1}{4}$=0.75．

點評 本題考查了離散型的概率分布問題，數(shù)學(xué)期望的求解，考查了學(xué)生的閱讀分析能力，計算能力，屬于中檔題．