17.若對于定義在R上的函數(shù)f(x),其圖象是連續(xù)的,且存在常數(shù)λ(λ∈R),使得f(x+λ)+λf(x)=0對任意的實數(shù)x成立,則稱f(x)是λ一伴隨函數(shù),下列對于λ一伴隨函數(shù)的敘述不正確的是①②
①f(x)=0是唯一的一個常值λ一伴隨函數(shù);
②f(x)=x2是一個λ一伴隨函數(shù);
③f(x)=2x是一個λ一伴隨函數(shù);
④$\frac{1}{2}$一伴隨函數(shù)至少有一個零點.

分析 ①對于任意λ∈R,f(x)=0時,f(x+λ)+λf(x)=0對任意的實數(shù)x都成立,從而判斷;
②假設f(x)=x2是一個λ一伴隨函數(shù);從而推出矛盾即可,從而判斷;
③假設f(x)=2x是一個λ一伴隨函數(shù);從而可推出2λ+λ=0;結(jié)合方程的根與函數(shù)的零點的關(guān)系可判斷方程有解,從而判斷;
④若f(x)是$\frac{1}{2}$一伴隨函數(shù);從而可得f(x+$\frac{1}{2}$)+$\frac{1}{2}$f(x)=0,再利用函數(shù)零點的判定定理判斷即可.

解答 解:①對于任意λ∈R,f(x)=0時,f(x+λ)+λf(x)=0對任意的實數(shù)x都成立,
故可判斷f(x)=0是唯一的一個對任意λ都成立的λ一伴隨函數(shù);
故①不正確;
②若f(x)=x2是一個λ一伴隨函數(shù);
則存在常數(shù)λ(λ∈R),
使f(x+λ)+λf(x)=0恒成立,
即(x+λ)2+λx2=0;
當x=0時,λ=0;
當x≠0,λ=0時,(x+λ)2+λx2=0不成立;
故②不正確;
③若f(x)=2x是一個λ一伴隨函數(shù);
則存在常數(shù)λ(λ∈R),
使f(x+λ)+λf(x)=0恒成立,
即2x+λ+λ2x=0;
即2x(2λ+λ)=0,
即2λ+λ=0;
由方程的根與函數(shù)的零點的關(guān)系知,
存在λ0,使2λ+λ=0成立;
故③正確;
④若f(x)是$\frac{1}{2}$一伴隨函數(shù);
則f(x+$\frac{1}{2}$)+$\frac{1}{2}$f(x)=0,
若f(x)=0,則f(x+$\frac{1}{2}$)=0,
則x,x+$\frac{1}{2}$是f(x)的零點;
若f(x)≠0,則f(x)•f(x+$\frac{1}{2}$)<0,
則f(x)在(x,x$+\frac{1}{2}$)上有零點;
故④正確;
故答案為:①②.

點評 本題考查了學生對新定義的接受與應用能力,同時考查了函數(shù)零點的判斷與應用,屬于中檔題.

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13.已知命題p:函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,命題q:函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為[a,b],則p是q的( 。
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(Ⅰ)寫出橢圓C的方程和焦點坐標;
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(1)求橢圓C1的方程;
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(1)指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù);
(2)若所得分數(shù)不低于9.5分,則稱該學生對釣魚島“非常了解”.求從這16人中隨機選取3人,求至多有1人“非常了解”的概率;
(3)以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計該所學校學生的總體數(shù)據(jù),若從該所學校(人數(shù)可視為很多)任選3人,記ξ表示抽到“非常了解”的人數(shù),求ξ的分布列及數(shù)學期望.

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