Question

3．在平面直角坐標(biāo)系中，圓C的方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}cosθ}\\{y=1+\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$ （θ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長(zhǎng)度，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ+ρsinθ=m（m∈R）．
（I）當(dāng)m=3時(shí)，判斷直線l與C的位置關(guān)系；
（Ⅱ）當(dāng)C上有且只有一點(diǎn)到直線l的距離等于$\sqrt{2}$時(shí)，求C上到直線l距離為2$\sqrt{2}$的點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （I）將曲線方程化成直角坐標(biāo)方程，計(jì)算圓心到直線的距離與圓的半徑比較大小得出結(jié)論；
（II）由題意可知直線與圓相離，且圓心到直線l的距離為2$\sqrt{2}$，故到直線l的距離等于2$\sqrt{2}$的點(diǎn)在過(guò)圓心且與直線l平行的直線上，求出此直線的參數(shù)方程代入圓的方程求出該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)，得出該點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（I）圓C的普通方程為（x-1）²+（y-1）²=2，
∴圓心坐標(biāo)為（1，1），半徑r=$\sqrt{2}$．
m=3時(shí)，直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y-3=0．
∴圓心C到直線l的距離d=$\frac{|1+1-3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜r．
∴直線l與圓C相交．
（II）直線l的普通方程為x+y-m=0．
∵C上有且只有一點(diǎn)到直線l的距離等于$\sqrt{2}$，
∴直線l與圓C相離，且圓心到直線的距離為$\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$．
∴圓C上到直線l的距離等于2$\sqrt{2}$的點(diǎn)在過(guò)圓心C（1，1）且與直線l平行的直線上．
∴過(guò)圓心C（1，1）且與直線l平行的直線的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
將：$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入圓C的普通方程得t²=2，
∴t₁=$\sqrt{2}$，t₂=-$\sqrt{2}$．
當(dāng)t=$\sqrt{2}$時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$，當(dāng)t=-$\sqrt{2}$時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$．
∴C上到直線l距離為2$\sqrt{2}$的點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2），（2，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．