Question

2．如圖所示，PA為半徑等于2的圓O的切線，A為切點，PO交圓O于B，C兩點，$PA=\sqrt{5}$，∠BAC的角平分線與BC交于點D．
（1）求證AB•PC=PA•AC；（2）求$\frac{CD}{BD}$的值．

Answer 1

分析 （1）連接AO，運用切線的性質(zhì)和弦切角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)可得，AB•PC=PA•AC；
（2）運用勾股定理，求得PO，PC，由內(nèi)角平分線定理可得$\frac{CD}{BD}=\frac{AC}{AB}$，結(jié)合（1）的結(jié)論，即可得到所求值．

解答 解：（1）證明：連接AO，PA為圓O的切線，
∴∠PAB=∠ACP，又∠P為公共角，
則△PAB∽△PCA，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{PA}{PC}$，
即AB•PC=PA•AC；
（2）$PA=\sqrt{5}$，圓的半徑為2，
在Rt△PAO中，由PA²+AO²=PO²得PO=$\sqrt{5+4}$=3，
PC=PO+OC=5，
因為AD是∠BAC的角平分線，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{AC}{AB}$，
由（I）得$\frac{AC}{AB}=\frac{PC}{PA}$，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{PC}{PA}=\frac{5}{{\sqrt{5}}}=\sqrt{5}$．

點評 本題考查圓的切線的性質(zhì)和弦切角定理、勾股定理、角平分線定理的運用，考查相似三角形的判定和性質(zhì)，考查推理和運算能力，屬于中檔題．