Question

已知函數(shù)y=f（x），我們把滿足f（x₀）=kx₀的實數(shù)x₀叫做函數(shù)f（x）的k倍不動點，設f（x）=x²+（2a+1）x+a²+a．
（1）若f（x）在區(qū)間[0，2]有兩個相異的1倍不動點，求實數(shù)a，并求出此不動點；
（2）若對任意k≥3，f（x）都有k倍不動點，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）設m，n（m＜n）為f（x）的2倍不動點，且函數(shù)f（x）在x∈[m，n]時值域為[2m，2n]，求a的取值范圍；
（4）函數(shù)f（x）在x∈[m，n]（m＜n）時單調(diào)，且值域恰為[2m，2n]，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)與方程的綜合運用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）令f（x）=x，解出方程的兩根，令兩根大于等于0，小于等于2，解得即可；
（2）令f（x）=kx，判別式△≥0恒成立，討論對稱軸與3的關系，解不等式，即可得到a的范圍；
（3）令f（x）=2x，判別式大于0，區(qū)間為[m，n]為增區(qū)間，考慮對稱軸與區(qū)間的關系，解得即可；
（4）若為增，考慮對稱軸與區(qū)間的關系和判別式大于0，即有-a-

1

2

≤-

1

8

；考慮為減，則f（m）=2n，f（n）=2m，作差可得，m+n=-3-2a，代入f（m）=2n，再由判別式大于等于0，及區(qū)間在對稱軸的左邊，解不等式即可得到．

解答： 解：（1）f（x）=x²+（2a+1）x+a²+a區(qū)間[0，2]有兩個相異的1倍不動點，
則x²+2ax+a²+a=0區(qū)間[0，2]有兩個相異的實根，
即有x=-a±

-a

∈[0，2]，
由0≤-a+

-a

≤2，解得，-1≤a＜0；
由0≤-a-

-a

≤2，解得，-4≤a≤-1．
則a=-1，此時兩個不動點為0，2；
（2）對任意k≥3，f（x）都有k倍不動點，即有
f（x）=x²+（2a+1）x+a²+a=kx恒有解，
即方程x²+（2a+1-k）x+a²+a=0恒有解．
則判別式△≥0恒成立，即（2a+1-k）²-4（a²+a）≥0，
若2a+1≥3即a≥1，且4（a²+a）≤0，則a無解，不成立；
若2a+1＜3，即a＜1，且4（a²+a）≤（2a+1-3）²，即有a≤

1

3

，
則有a≤

1

3

．
綜上可得，a的取值范圍為（-∞，

1

3

]；
（3）由于m，n（m＜n）為f（x）的2倍不動點，
則f（x）=2x有兩個不相等的實根，即x²+（2a+1）x+a²+a=2x，
即有x²+（2a-1）x+a²+a=0，則由（2a-1）²-4（a²+a）＞0，
解得，a＜

1

8

；
函數(shù)f（x）在x∈[m，n]時值域為[2m，2n]，
由于y=2x為增函數(shù)，則f（x）在[m，n]為單調(diào)增區(qū)間，即有f（m）=2m，f（n）=2n，
且-a-

1

2

≤m，f（x）的最小值為

4(a2+a)-(2a+1)2

4

=-

1

4

，
即有-

1

4

=-2a-1，解得，a=-

3

8

．
則a的取值范圍為[-

3

8

，

1

8

）；
（4）函數(shù)f（x）在x∈[m，n]（m＜n）時單調(diào)，且值域恰為[2m，2n]，
若為增函數(shù)，則有f（m）=2m，f（n）=2n，
且-a-

1

2

≤m，f（x）的最小值為

4(a2+a)-(2a+1)2

4

=-

1

4

，
即有2m≥-

1

4

，即m≥-

1

8

，則-a-

1

2

≤-

1

8

，解得，a≥-

3

8

；
若為減函數(shù)，則有f（m）=2n，f（n）=2m，
即為m²+（2a+1）m+a²+a=2n，n²+（2a+1）n+a²+a=2m，
由于m＜n，相減得，m+n=-3-2a，
即有m²+（2a+3）m+a²+5a+6=0有解，則判別式（2a+3）²-4（a²+5a+6）≥0，
解得，a≤-

15

8

，
又2m≤-

1

4

，即m≤-

1

8

，且-a-

1

2

≥n＞m，即有-a-

1

2

≥-

1

8

，解得，a≤-

3

8

．
則有a≤-

15

8

成立．
綜上可得，a≥-

3

8

或a≤-

15

8

．

點評：本題考查新定義的理解和運用，考查二次方程和二次函數(shù)的關系，考查函數(shù)的定義域和值域的關系，及函數(shù)的單調(diào)性的運用，考查運算能力，屬于中檔題．