Question

2．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中點．
（1）若E為B₁C₁的中點，求證：BE∥平面AC₁D；
（2）若平面B₁BCC₁⊥平面ABC，且AB=AC，求證：平面AC₁D⊥平面B₁BCC₁．

Answer 1

分析 （1）連接BE，則四邊形BDC₁E為平行四邊形，于是BE∥C₁D，得出BE∥平面AC₁D；
（2）由AB=AC得出AD⊥BC，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)即可得出AD⊥平面B₁BCC₁，于是平面AC₁D⊥平面B₁BCC₁．

解答 證明：（1）連接BE．
∵D是BC的中點，E為B₁C₁的中點，四邊形BCC₁B₁是平行四邊形，
∴$BD\underline{\underline{∥}}E{C_1}$，
∴四邊形BDC₁E為平行四邊形，
∴BE∥DC₁，又BE?平面AC₁D，DC₁⊆平面AC₁D
∴BE∥平面AC₁D．
（2）∵D是BC的中點，AB=AC，
∴AD⊥BC，
∵平面B₁BCC₁⊥平面ABC，AD?平面ABC，平面B₁BCC₁∩平面ABC=BC，
∴AD⊥平面B₁BCC₁，
又AD?平面AC₁D，
∴平面AC₁D⊥平面B₁BCC₁．

點評 本題考查了線面平行的判定，面面垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．