【題目】已知橢圓的離心率，左、右焦點分別是、，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）設為橢圓上不在軸上的一個動點，過點作的平行線交橢圓與、兩個不同的點，記，，令，求的最大值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

（1）由圓心到切線的距離求出，再由離心率可求得，從而得橢圓方程；

（2）設，，，，由平行線的等積轉化，得，因此設直線方程為，代入橢圓方程整理后用韋達定理得，代入后利用基本不等式可得最大值．

解：（1）由題意可知：橢圓焦點在軸上，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切，

所以，

又橢圓的離心率，解得：，

橢圓的方程為：；

（2）由（1）可知：橢圓的右焦點，，設，，，，

，

，

設直線，

，整理得：，

，，

，

，

由，

，

當且僅當時，即時，取等號，

的最大值為．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某工廠為生產一種精密管件研發(fā)了一臺生產該精密管件的車床，該精密管件有內外兩個口徑，監(jiān)管部門規(guī)定“口徑誤差”的計算方式為：管件內外兩個口徑實際長分別為，標準長分別為則“口徑誤差”為只要“口徑誤差”不超過就認為合格，已知這臺車床分晝夜兩個獨立批次生產．工廠質檢部在兩個批次生產的產品中分別隨機抽取40件作為樣本，經檢測其中晝批次的40個樣本中有4個不合格品，夜批次的40個樣本中有10個不合格品．

（Ⅰ）以上述樣本的頻率作為概率，在晝夜兩個批次中分別抽取2件產品，求其中恰有1件不合格產品的概率；

（Ⅱ）若每批次各生產1000件，已知每件產品的成本為5元，每件合格品的利潤為10元；若對產品檢驗，則每件產品的檢驗費用為2.5元；若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對用戶賠償，這時生產的每件不合格品工廠要損失25元．以上述樣本的頻率作為概率，以總利潤的期望值為決策依據，分析是否要對每個批次的所有產品作檢測？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知為坐標原點，圓：，定點，點是圓上一動點，線段的垂直平分線交圓的半徑于點，點的軌跡為．

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）不垂直于軸且不過點的直線與曲線相交于兩點，若直線、的斜率之和為0，則動直線是否一定經過一定點？若過一定點，則求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知圓與橢圓相交于點M（0，1），N（0，-1），且橢圓的離心率為.

（1）求的值和橢圓C的方程；

（2）過點M的直線交圓O和橢圓C分別于A，B兩點.

①若，求直線的方程；

②設直線NA的斜率為，直線NB的斜率為，問:是否為定值? 如果是，求出定值；如果不是，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】無線電技術在航海中有很廣泛的應用，無線電波可以作為各種信息的載體．現(xiàn)有一艘航行中的輪船需要與陸地上的基站進行通信，其連續(xù)向基站拍發(fā)若干次呼叫信號，每次呼叫信號被基站收到的概率都是0.2，基站收到呼叫信號后立即向輪船拍發(fā)回答信號，回答信號一定能被輪船收到．

（Ⅰ）若要保證基站收到信號的概率大于0.99，求輪船至少要拍發(fā)多少次呼叫信號．

（Ⅱ）設（Ⅰ）中求得的結果為．若輪船第一次拍發(fā)呼叫信號后，每隔5秒鐘拍發(fā)下一次，直到收到回答信號為止，已知該輪船最多拍發(fā)次呼叫信號，且無線電信號在輪船與基站之間一個來回需要16秒，設輪船停止拍發(fā)時，一共拍發(fā)了次呼叫信號，求的數(shù)學期望（結果精確到0.01）．

參考數(shù)據：．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）若為單調遞減函數(shù)，求的取值范圍；

（2）若有兩個不同的零點，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知兩動圓和（），把它們的公共點的軌跡記為曲線，若曲線與軸的正半軸的交點為，且曲線上的相異兩點滿足：.

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）證明直線恒經過一定點，并求此定點的坐標；

（3）求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線焦點為，直線過與拋物線交于兩點.到準線的距離之和最小為8.

（1）求拋物線方程；

（2）若拋物線上一點縱坐標為，直線分別交準線于.求證：以為直徑的圓過焦點.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在平面直角坐標系中，曲線過點，其參數(shù)方程為 （為參數(shù)，），以為極點，軸非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）求已知曲線和曲線交于，兩點，且，求實數(shù)的值.

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