【題目】設(shè)函數(shù)y=f （x），對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都有f （x+y）=f （x）+f （y）+2xy．
（1）求f （0）的值；
（2）若f （1）=1，求f （2），f （3），f （4）的值；
（3）在（2）的條件下，猜想f （n）（n∈N*）的表達(dá)式并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

【答案】
（1）解：令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0）+2×0×0，得f（0）=0．
（2）解：由f（1）=1，得f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）+2×1×1=4．

f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）+2×2×1=9．f（4）=f（3+1）=f（3）+f（1）+2×3×1=16


（3）解：由（2）可猜想f（n）=n2，

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

（i）當(dāng)n=1時(shí)，f（1）=12=1顯然成立．

（ii）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，即f（k）=k2，

則當(dāng)n=k+1時(shí)，f（k+1）=f（k）+f（1）+2×k×1=k2+1+2k=（k+1）2，

故當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，

由（i），（ii）可得，對(duì)一切n∈N*都有f（n）=n2成立


【解析】（1）利用特殊值法判斷即可；（2）根據(jù)條件，逐步代入求解；（3）猜想結(jié)論，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟證明．
【考點(diǎn)精析】掌握數(shù)學(xué)歸納法的定義是解答本題的根本，需要知道數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法．

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)集合A={﹣1，1}，集合B={x|ax=1，a∈R}，則使得BA的a的所有取值構(gòu)成的集合是（ ）
A.{0，1}
B.{0，﹣1}
C.{1，﹣1}
D.{﹣1，0，1}

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【題目】若多項(xiàng)式x10=a0+a1（x+1）+…a9（x+1）9+a10（x+1）10 ， 則a1+a3+a5+a7+a9= ． （用數(shù)字作答）

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A.l∥α，α⊥βl⊥α
B.l⊥α，α⊥βl∥α
C.l∥α，α∥βl∥β
D.l⊥α，α∥βl⊥β

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【題目】設(shè)集合設(shè)U={x|﹣3＜x＜3，x∈Z}，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，則A∪UB=（ ）
A.{1}
B.{1，2}
C.{2}
D.{0，1，2}

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【題目】若α是第三象限角，則180°﹣α是第象限角．

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【題目】已知函數(shù)f（x）=ax2+2ax+4（0＜a＜3），若x1＜x2 ， x1+x2=0，則（ ）
A.f（x1）＜f（x2）
B.f（x1）＞f（x2）
C.f（x1）=f（x2）
D.f（x1）與f（x2）的大小不能確定

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)集合U={1，2，3，4}，集合A={x∈N|x2﹣5x+4＜0}，則UA等于（ ）
A.{1，2}
B.{1，4}
C.{2，4}
D.{1，3，4}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=x+x3 ， x1 ， x2 ， x3∈R，x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，那么f（x1）+f（x2）+f（x3）的值（ ）
A.一定大于0
B.等于0
C.一定小于0
D.正負(fù)都有可能

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