Question

16．已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且sin（A-B）+sinC=1．
（1）求sinAcosB的值；
（2）若a=2b，求sinA的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角形內角和定理與兩角和與差的正弦公式，即可求出sinAcosB的值；
（2）利用正弦定理把a=2b化為sinA=2sinB，再利用（1）的結論求出B的值，從而求出sinA的值．

解答 解：（1）△ABC中，A+B+C=π，
∴sin（A-B）+sinC=sin（A-B）+sin（A+B）
=（sinAcosB-cosAsinB）+（sinAcosB+cosAsinB）
=2sinAcosB=1，
∴sinAcosB=$\frac{1}{2}$；
（2）△ABC中，a=2b，
∴sinA=2sinB，
∴sinAcosB=2sinBcosB=sin2B=$\frac{1}{2}$，
∴2B=$\frac{π}{6}$或2B=$\frac{5π}{6}$，
∴B=$\frac{π}{12}$或B=$\frac{5π}{12}$；
∴sinB=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$或sinB=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
∴sinA=2sinB=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$或sinA=2sinB=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$（不合題意，舍去）．
綜上，sinA=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換問題，也考查了正弦定理的應用問題，是綜合性題目．