Question

5．如圖，已知F是拋物線x²=2py（p＞0）的焦點，O為坐標原點，過點O、F的圓的圓心為Q，點Q到拋物線準線的距離為$\frac{3}{2}$．過點F的直線l交拋物線于A，B兩點，過A，B分別作拋物線的切線，兩切線交點為M．
（1）求拋物線的方程；
（2）求$\overrightarrow{MF}$•$\overrightarrow{MB}$-$\overrightarrow{MF}$•$\overrightarrow{MA}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂徑定理可知圓心O在直線y=$\frac{p}{4}$上，根據(jù)O到準線的距離列方程解出p，得出拋物線方程；
（2）求出切線方程，聯(lián)立方程組解出M的坐標，得出向量$\overrightarrow{MF}，\overrightarrow{AB}$的坐標，帶入向量的數(shù)量積公式運算．

解答 解：（1）拋物線的準線方程為y=-$\frac{p}{2}$，焦點F（0，$\frac{p}{2}$）．
∵圓O經(jīng)過O，F(xiàn)，∴O在直線y=$\frac{p}{4}$上．
∴O到拋物線的準線的距離d=$\frac{p}{2}+\frac{p}{4}=\frac{3}{2}$，∴p=2．
∴拋物線的方程為x²=4y．
（2）設A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$）．
由x²=4y得y=$\frac{{x}^{2}}{4}$，∴y′=$\frac{x}{2}$．
∴直線AM的方程為y-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$=$\frac{{x}_{1}}{2}$（x-x₁），即y=$\frac{{x}_{1}}{2}x-$$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$，
直線BM的方程為y-$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$=$\frac{{x}_{2}}{2}$（x-x₂），即y=$\frac{{x}_{2}}{2}x$-$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{{x}_{1}}{2}x-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}}\\{y=\frac{{x}_{2}}{2}x-\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}}\end{array}\right.$，解得M（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，-1）．
∴$\overrightarrow{MF}$=（-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，2），$\overrightarrow{AB}$=（x₂-x₁，$\frac{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}{4}$），
∴$\overrightarrow{MF}$•$\overrightarrow{MB}$-$\overrightarrow{MF}$•$\overrightarrow{MA}$=$\overrightarrow{MF}•$（$\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}$）=$\overrightarrow{MF}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}{2}$+$\frac{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}{2}$=0．

點評 本題考查了拋物線的性質(zhì)，曲線的交點坐標，切線方程，屬于中檔題．