【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx+ ax2﹣2bx
(1)設點a=﹣3,b=1,求f(x)的最大值;
(2)當a=0,b=﹣ 時,方程2mf(x)=x2有唯一實數(shù)解,求正數(shù)m的取值范圍.

【答案】
(1)解:a=﹣3,b=1時,f(x)=lnx﹣ x2﹣2x,

f′(x)= ﹣3x﹣2,f″(x)=﹣ ﹣3<0,

∴f′(x)在(0,+∞)遞減,

而f′( )=0,

∴f(x)在(0, )遞增,在( ,+∞)遞減,

∴f(x)max=f( )=﹣ln3﹣


(2)解:∵方程2mf(x)=x2有唯一實數(shù)解,即x2﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一實數(shù)解,

設g(x)=x2﹣2mlnx﹣2mx,則g′(x)=

令g′(x)=0,x2﹣mx﹣m=0.

∵m>0,x>0,

∴x1= <0(舍去),x2=

當x∈(0,x2)時,g′(x)<0,g(x)在(0,x2)上單調(diào)遞減;當x∈(x2,+∞)時,g′(x)>0,g(x)在(x2,+∞)上單調(diào)遞增.

∴g(x)最小值為g(x2).

,即 ,

∴2mlnx2+mx2﹣m=0即2lnx2+x2﹣1=0.

設h(x)=2lnx+x﹣1(x>0),h′(x)= +1>0恒成立,

故h(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,h(x)=0至多有一解.

又h(1)=0,

∴x2=1,

=1,解得m=


【解析】(1)a=﹣3,b=1,求出函數(shù)的導數(shù),得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的最大值即可;(2)方程2mf(x)=x2有唯一實數(shù)解,即x2﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一實數(shù)解,設g(x)=x2﹣2mlnx﹣2mx,利用導數(shù)可得其最小值為g(x2).則 ,即2lnx2+x2﹣1=0.設h(x)=2lnx+x﹣1(x>0),再利用導數(shù)研究其單調(diào)性即可得出答案.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識,掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減,以及對函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)的理解,了解求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.

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4

2

3

5

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49

26

39

54

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