Question

18．若α∈（$\frac{3}{2}$π，2π）sin（$\frac{π}{2}$-β）•cos（α+β）-sin（π+β）•sin（α+β）=$\frac{3}{5}$，求tan（$\frac{π}{4}$-$\frac{α}{2}$），tan2α．

Answer 1

分析 由已知利用誘導(dǎo)公式，兩角差的余弦函數(shù)公式可得cosα=$\frac{3}{5}$，根據(jù)角的范圍，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinα，tanα，利用二倍角的正切函數(shù)公式可求tan$\frac{α}{2}$的值，根據(jù)兩角差的正切函數(shù)公式，二倍角的正切函數(shù)公式即可計(jì)算得解．

解答 解：∵sin（$\frac{π}{2}$-β）•cos（α+β）-sin（π+β）•sin（α+β）=$\frac{3}{5}$，
∴可得：cosβ•cos（α+β）+sinβ•sin（α+β）=$\frac{3}{5}$，
∴cos[（α+β）-β]=cosα=$\frac{3}{5}$，
∵α∈（$\frac{3}{2}$π，2π），$\frac{α}{2}$∈（$\frac{3π}{4}$，π），
∴可得：sinα=-$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=-$\frac{4}{5}$，tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=-$\frac{4}{3}$，tan$\frac{α}{2}$＜0，
∴tanα=-$\frac{4}{3}$=$\frac{2tan\frac{α}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{α}{2}}$，整理可得：2tan²$\frac{α}{2}$-3tan$\frac{α}{2}$-2=0，解得：tan$\frac{α}{2}$=-$\frac{1}{2}$或2（舍去），
∴tan（$\frac{π}{4}$-$\frac{α}{2}$）=$\frac{1-tan\frac{α}{2}}{1+tan\frac{α}{2}}$=$\frac{1-（-\frac{1}{2}）}{1+（-\frac{1}{2}）}$=3，
tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=$\frac{2×（-\frac{4}{3}）}{1-（-\frac{4}{3}）^{2}}$=$\frac{24}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了誘導(dǎo)公式，兩角差的余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角的正切函數(shù)公式，兩角差的正切函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．