分析 求得$\frac{(n+1)^{2}+1}{(n+1)^{2}-1}$=$\frac{{n}^{2}+2n+2}{{n}^{2}+2n}$=1+$\frac{2}{n(n+2)}$=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$,再由數(shù)列的求和方法:裂項相消求和,化簡整理,即可得到所求和.
解答 解:由$\frac{(n+1)^{2}+1}{(n+1)^{2}-1}$=$\frac{{n}^{2}+2n+2}{{n}^{2}+2n}$
=1+$\frac{2}{n(n+2)}$=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$,
可得Sn=$\frac{{2}^{2}+1}{{2}^{2}-1}$+$\frac{{3}^{2}+1}{{3}^{2}-1}$+…+$\frac{(n+1)^{2}+1}{(n+1)^{2}-1}$
=(1+1-$\frac{1}{3}$)+(1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$)+(1+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$)+(1+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$)
+…+(1+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$)+(1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$)
=n+1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$=n+$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$.
點評 本題考查數(shù)列的求和方法:裂項相消求和,考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題.
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