Question

16．已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，且z是方程x²-4x+5=0的根．
（1）求復(fù)數(shù)z；
（2）復(fù)數(shù)w=a-$\frac{（-1+i）（2+i）}{i}$（a∈R）滿足|w-z|＜2$\sqrt{5}$，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)復(fù)數(shù)z=m+ni，m，n∈R，代入方程由復(fù)數(shù)相等解方程組結(jié)合題意可得；
（2）化簡w，由已知和模長公式可a的不等式，解不等式可得．

解答 解：（1）設(shè)復(fù)數(shù)z=m+ni，m，n∈R，
∵z是方程x²-4x+5=0的根，
∴（m+ni）²-4（m+ni）+5=0，
整理可得（m²-n²-4m+5）+（2mn-4n）i=0，
由復(fù)數(shù)相等可得m²-n²-4m+5=2mn-4=0，
解得m=2且n=1，或m=2且n=-1，
故方程的兩根為2+i或2-i，
又∵復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，
∴z=2-i；
（2）化簡可得$w=a-\frac{（-1+i）（2+i）}{i}=（a-1）-3i$，
∵|w-z|=|（a-1-3i）-（2+i）|=|a-3-4i|=$\sqrt{（a-3）^{2}+16}$＜2$\sqrt{5}$，
∴解關(guān)于a的不等式可得1＜a＜5

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運(yùn)算，涉及復(fù)數(shù)相等和不等式的解法，屬中檔題．