Question

4．已知p：x²+mx+1=0有兩個不相等的負實數(shù)根，q：方程4x²+（4m-2）x+1=0無實數(shù)根．
（Ⅰ）若p為真，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若p或q為真，p且q為假，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)二次方程根的個數(shù)與系數(shù)的關系，構(gòu)造關于m的不等式組，解得實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若p或q為真，p且q為假，p，q必為一真一假，分類討論后，進而可得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵p：x²+mx+1=0有兩個不相等的負實數(shù)根，
若p為真，則$\left\{{\begin{array}{l}{△={m^2}-4＞0}\\{-m＜0}\end{array}}\right.$，
∴m＞2
（Ⅱ）若q為真，△=（4m-2）²-16＜0，
∴$-\frac{1}{2}＜m＜\frac{3}{2}$，
∵p或q為真，p且q為假，
∴p，q必為一真一假
①當p為真q為假時，
$\left\{{\begin{array}{l}{m＞2}\\{m≤-\frac{1}{2}或m≥\frac{3}{2}}\end{array}}\right.$，
∴m＞2
②當p為假q為真時，
$\left\{{\begin{array}{l}{m≤2}\\{-\frac{1}{2}＜m＜\frac{3}{2}}\end{array}}\right.$，
∴$-\frac{1}{2}＜m＜\frac{3}{2}$
綜上可知：$m∈（{-\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}）∪（{2，+∞}）$

點評 本題主要考查了p或q復合命題的真假的應用，解題的關鍵是利用二次方程根的個數(shù)與△的關系，準確求出命題p，q為真時m的范圍．