Question

4．已知p：x²+mx+1=0有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)根，q：方程4x²+（4m-2）x+1=0無實(shí)數(shù)根．
（Ⅰ）若p為真，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若p或q為真，p且q為假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)二次方程根的個(gè)數(shù)與系數(shù)的關(guān)系，構(gòu)造關(guān)于m的不等式組，解得實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若p或q為真，p且q為假，p，q必為一真一假，分類討論后，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵p：x²+mx+1=0有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)根，
若p為真，則$\left\{{\begin{array}{l}{△={m^2}-4＞0}\\{-m＜0}\end{array}}\right.$，
∴m＞2
（Ⅱ）若q為真，△=（4m-2）²-16＜0，
∴$-\frac{1}{2}＜m＜\frac{3}{2}$，
∵p或q為真，p且q為假，
∴p，q必為一真一假
①當(dāng)p為真q為假時(shí)，
$\left\{{\begin{array}{l}{m＞2}\\{m≤-\frac{1}{2}或m≥\frac{3}{2}}\end{array}}\right.$，
∴m＞2
②當(dāng)p為假q為真時(shí)，
$\left\{{\begin{array}{l}{m≤2}\\{-\frac{1}{2}＜m＜\frac{3}{2}}\end{array}}\right.$，
∴$-\frac{1}{2}＜m＜\frac{3}{2}$
綜上可知：$m∈（{-\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}）∪（{2，+∞}）$

點(diǎn)評 本題主要考查了p或q復(fù)合命題的真假的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用二次方程根的個(gè)數(shù)與△的關(guān)系，準(zhǔn)確求出命題p，q為真時(shí)m的范圍．