Question

9．定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中D稱為f（x）的上界．已知函數(shù)f（x）=1+a•（$\frac{1}{2}$）^x+（$\frac{1}{4}$）^x．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上的值域，并判斷函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是否有上界，請說明理由．
（2）若函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是以3為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）試定義函數(shù)的下界，舉一個(gè)下界為3的函數(shù)模型，并進(jìn)行證明．

Answer 1

分析 （1）將a=1代入函數(shù)表達(dá)式，通過換元法轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)以及有界函數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為[-4•2^x-${（\frac{1}{2}）}^{x}$]_max≤a≤[2•2^x-${（\frac{1}{2}）}^{x}$]_min，分別求出其最大值和最小值即可；
（3）結(jié)合上界函數(shù)的定義類比即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=1+${（\frac{1}{2}）}^{x}$+${（\frac{1}{4}）}^{x}$，
令t=${（\frac{1}{2}）}^{x}$t＞1，
則f（x）=g（t）=t²+t+1=${（t+\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$，
∵g（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴g（t）＞g（1），
即f（x）在（-∞，0）上的值域?yàn)椋?，+∞），
故不存在常數(shù)M＞0，使|f（x）|≤M成立，
所以函數(shù)f（x）在（-∞，1）上不是有界函數(shù)．
（2）由題意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立．
∴-3≤f（x）≤3，-4-${（\frac{1}{4}）}^{x}$≤a•${（\frac{1}{2}）}^{x}$≤2-${（\frac{1}{4}）}^{x}$，
∴-4•2^x-${（\frac{1}{2}）}^{x}$≤a≤2•2^x-${（\frac{1}{2}）}^{x}$在[0，+∞）上恒成立，
即[-4•2^x-${（\frac{1}{2}）}^{x}$]_max≤a≤[2•2^x-${（\frac{1}{2}）}^{x}$]_min，
設(shè) 2^x=t，則-4t-$\frac{1}{t}$≤a≤2t-$\frac{1}{t}$，
設(shè)h（t）=-4t-$\frac{1}{t}$，p（t）=2t-$\frac{1}{t}$，
由x∈[0，+∞） 得 t≥1．設(shè)1≤t₁＜t₂，
則h（t₁）-h（t₂）=$\frac{（{{t}_{2}-t}_{1}）（{{4t}_{1}t}_{2}-1）}{{{t}_{1}•t}_{2}}$＞0，
p（t₁）-p（t₂）=$\frac{{（t}_{1}{-t}_{2}）（{{2t}_{1}t}_{2}+1）}{{{t}_{1}•t}_{2}}$＜0，
所以，h（t）在[1，+∞）上遞減，p（t）在[1，+∞）上遞增，
故h（t）在[1，+∞）上的最大值為h（1）=-5，p（t）在[1，+∞）上的最小值為
p（1）=1，
所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-5，1]；
（3）定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≥M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為f（x）的下界，
例如：y=x²+3．

點(diǎn)評 本題考查了新定義問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，是一道中檔題．