Question

15．多面體ABCDEF中，四邊形ABCD、四邊形BDEF均為正方形，且平面BDEF⊥平面ABCD，點G，H分別為BF，AD的中點．
（Ⅰ）求證：GH∥平面AEF；
（Ⅱ）求直線EA與平面ACF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）設AE中點M，以D為原點建立空間坐標系，求出$\overrightarrow{MF}$和$\overrightarrow{HG}$的坐標，得出$\overrightarrow{HG}=\overrightarrow{MF}$，從而得出HG∥MF，故而HG∥平面AEF；
（II）求出$\overrightarrow{AE}$和平面ACF的法向量$\overrightarrow{n}$的坐標，設所求線面角為θ，則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AE}$＞|，利用同角三角函數(shù)的關系得出tanθ．

解答 證明：（I）以D為原點，以DA，DC，DE為坐標軸建立空間直角坐標系，如圖所示：
設AB=2，AE的中點為M，則M（1，0，$\sqrt{2}$），H（1，0，0），F(xiàn)（2，2，2$\sqrt{2}$），G（2，2，$\sqrt{2}$）．
$\overrightarrow{HG}$=（1，2，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{MF}$=（1，2，$\sqrt{2}$）．
∴$\overrightarrow{HG}=\overrightarrow{MF}$，
∴HG∥MF，又HG?平面AEF，MF?平面AEF，
∴GH∥平面AEF．
（II）A（2，0，0），F(xiàn)（2，2，2$\sqrt{2}$），C（0，2，0），E（0，0，2$\sqrt{2}$）．
∴$\overrightarrow{AE}$=（-2，0，2$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{AF}$=（0，2，2$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，0），
設平面ACF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2y+2\sqrt{2}z=0}\\{-2x+2y=0}\end{array}\right.$，令z=1得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，1）．
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}$=4$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{AE}$|=2$\sqrt{3}$．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AE}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AE}|}$=$\frac{2\sqrt{30}}{15}$．
設直線EA與平面ACF所成角為θ，則sinθ=$\frac{2\sqrt{30}}{15}$，
即直線EA與平面ACF所成角的正弦值為$\frac{2\sqrt{30}}{15}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，線面角的計算，屬于中檔題．