Question

9．已知tanα=2，cosβ=-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，且a，β∈（0，π）．
（1）求cos2α的值；
（2）求2α-β的值．

Answer 1

分析 （1）由tanα=2，利用弦化切公式求得cos2α的值；
（2）由（1）中求得的cos2α，結(jié)合平方關(guān)系求得sin2α，再由已知求得sinβ，結(jié)合兩角差的正弦求得sin（2α-β），再由2α-β的范圍求得答案．

解答 解：（1）∵tanα=2，∴cos2α=$\frac{1-ta{n}^{2}α}{1+ta{n}^{2}α}=\frac{1-4}{1+4}=-\frac{3}{5}$；
（2）由已知tanα=2，α∈（0，π），可得，α∈（$\frac{π}{4}，\frac{π}{2}$），
∴2α∈（$\frac{π}{2}，π$），則sin2α=$\sqrt{1-co{s}^{2}2α}=\frac{4}{5}$，
又cosβ=-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，且β∈（0，π），∴β∈（$\frac{π}{2}，π$），
∴sinβ=$\sqrt{1-co{s}^{2}β}$=$\sqrt{1-（-\frac{7\sqrt{2}}{10}）^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{10}$．
則sin（2α-β）=sin2αcosβ-cos2αsinβ=$\frac{4}{5}×（-\frac{7\sqrt{2}}{10}）-（-\frac{3}{5}）×\frac{\sqrt{2}}{10}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵2α∈（$\frac{π}{2}，π$），β∈（$\frac{π}{2}，π$），
∴2α-β∈（$-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}$），則2α-β=$-\frac{π}{4}$．

點評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了已知三角函數(shù)值求角，關(guān)鍵是對角范圍的確定，是中檔題．