Question

18．設(shè)f（x）與g（x）都是定義在區(qū)間[x₁，x₂]上的函數(shù)，若對任意x∈[x₁，x₂]，都有（f（x）+g（x））²≤2，則稱f（x）和g（x）為“2度相關(guān)函數(shù)”．若函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）=x+2在[1，2]上為“2度相關(guān)函數(shù)”，則函數(shù)f（x）的解析式可以為（　�。�

• A． f（x）=x²+2x+1
• B． f（x）=-3x+2
• C． f（x）=-x²+2x-4
• D． f（x）=x+lnx-4

Answer 1

分析 根據(jù)“2度相關(guān)函數(shù)”的定義對各個選項分別構(gòu)造函數(shù)，求出對應的導數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性、求出函數(shù)的最大值判斷是否符合條件．

解答 解：對于A、設(shè)h（x）=（f（x）+g（x））²=（x²+3x+3）²，
則h′（x）=2（x²+3x+3）（2x+3）＞0，則h（x）在[1，2]上遞增，
∴h（x）的最大值是h（2）=169＞2，故A錯誤；
對于B、設(shè)h（x）=（f（x）+g（x））²=（-2x+4）²，
則h′（x）=2（-2x+4）（-2）=8（x-2）＜0，則h（x）在[1，2]上遞減，
∴h（x）的最大值是h（1）=4＞2，故B錯誤；
對于C、設(shè)h（x）=（f（x）+g（x））²=（-x²+3x-2）²，
則h′（x）=2（-x²+3x-2）（-2x+3）=2（x-1）（x-2）（2x-3），
則h（x）在[1，$\frac{3}{2}$]上遞增，在（$\frac{3}{2}$，2]上遞增，
∴h（x）的最大值是h（$\frac{3}{2}$）=$\frac{1}{16}$＜2，故C正確；
對于D、設(shè)h（x）=（f（x）+g（x））²=（2x+lnx-2）²，
則h′（x）=2（2x+lnx-2）（2+$\frac{1}{x}$）＞0，則h（x）在[1，2]上遞增，
∴h（x）的最大值是h（2）=（2+ln2）＞2，故D錯誤，
故選：C．

點評 本題是與函數(shù)有關(guān)的新定義題目，考查構(gòu)造函數(shù)法，導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、最值問題，屬于中檔題．