Question

13．已知橢圓C：$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{2}$=1與直線L：y=x+m相交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，則△AOB面積的最大值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 把直線方程和橢圓方程聯(lián)立，化為關(guān)于x的一元二次方程，由弦長公式求得AB長度，由點到直線的距離公式求出O到直線AB的距離，寫出三角形AOB的面積，然后利用二次函數(shù)求最值．

解答 解：聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去y得：3x²-4mx+2m²-4=0，
由△=16m²-12（2m²-4）＞0，得m²＜6．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4m}{3}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-4}{3}$，
則|AB|=$\sqrt{2}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\sqrt{2}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}\sqrt{（\frac{4m}{3}）^{2}-4×\frac{2{m}^{2}-4}{3}}$
=$\frac{4}{3}\sqrt{6-{m}^{2}}$．
點O的AB的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}|m|$．
∴△AOB的面積S=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}\sqrt{6-{m}^{2}}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}|m|$=$\frac{\sqrt{2}}{3}\sqrt{-{m}^{4}+6{m}^{2}}$．
∴當(dāng)m²=3時，△AOB的面積有最大值為$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，涉及直線與圓錐曲線關(guān)系問題，常采用聯(lián)立直線與圓錐曲線，化為關(guān)于x的一元二次方程，然后利用根與系數(shù)關(guān)系求解，是中檔題．