分析 (1)運(yùn)用離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程,以及a,b,c的關(guān)系,解方程可得a,b,進(jìn)而得到橢圓方程;
(2)設(shè)直線AB的方程為:y=kx,聯(lián)立橢圓方程和圓方程,求得k,b的方程,若b=2,c=2,則a2=8,結(jié)合條件$k≥\sqrt{3}$,由離心率公式解不等式可得e的取值范圍.
解答 解:(1)因?yàn)?e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}$,
設(shè)$c=k,a=\sqrt{2}k(k>0),則b=k$,
橢圓方程為:$\frac{x^2}{{2{k^2}}}+\frac{y^2}{k^2}=1$,
因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)$(\sqrt{2},\sqrt{3})$,代入橢圓方程,
得:$\frac{2}{{2{k^2}}}+\frac{3}{k^2}=1⇒k=2$,
所以,橢圓方程為$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$;
(2)設(shè)直線AB的方程為:y=kx,
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\{x^2}+{y^2}=4\end{array}\right.$,即為$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{a^2}+\frac{{{k^2}{x^2}}}{b^2}=1\\{x^2}+{k^2}{x^2}=4\end{array}\right.$,$⇒\left\{\begin{array}{l}(\frac{1}{a^2}+\frac{k^2}{b^2}){x^2}=1\\(1+{k^2}){x^2}=4\end{array}\right.⇒\frac{1}{a^2}+\frac{k^2}{b^2}=\frac{1}{4}(1+{k^2})⇒(\frac{4}{b^2}-1){k^2}=1-\frac{4}{a^2}$,
若b=2,c=2,則a2=8,不合題意,所以$\frac{4}{b^2}-1≠0$,
所以${k^2}=\frac{{1-\frac{4}{a^2}}}{{\frac{4}{b^2}-1}}≥3$,
又c=2,$\frac{4}{a^2}={e^2}$,${b^2}={a^2}-4=\frac{4}{{\frac{4}{a^2}}}-4=\frac{4}{e^2}-4$,
所以${k^2}=\frac{{1-{e^2}}}{{\frac{4}{{\frac{4}{e^2}-4}}-1}}=\frac{{1-{e^2}}}{{\frac{e^2}{{1-{e^2}}}-1}}=\frac{{{{(1-{e^2})}^2}}}{{2{e^2}-1}}=\frac{{{e^4}-2{e^2}+1}}{{2{e^2}-1}}≥3$,
所以$\frac{{{e^4}-8{e^2}+4}}{{2{e^2}-1}}≥0⇒{e^2}∈(\frac{1}{2},4-2\sqrt{3}]∪[4+2\sqrt{3},+∞)$,
又e∈(0,1),
所以${e^2}∈(\frac{1}{2},4-2\sqrt{3}]⇒e∈(\frac{{\sqrt{2}}}{2},\sqrt{3}-1]$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)的運(yùn)用,考查直線和橢圓及圓方程聯(lián)立,直線的斜率公式的運(yùn)用,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$ | B. | $\sqrt{6}$ | C. | $\frac{2+\sqrt{3}}{2}$ | D. | 2+$\sqrt{3}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | a<b<c | B. | c<b<a | C. | b<a<c | D. | c<a<b |
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