Question

12．某大學(xué)為了在2016年全國大學(xué)生成語聽寫大賽中取得優(yōu)秀成績，組織了100個(gè)人參加的成語聽寫大賽集訓(xùn)隊(duì)集訓(xùn)，集訓(xùn)時(shí)間為期一個(gè)月．集訓(xùn)結(jié)束時(shí)，為了檢查集訓(xùn)的效果，從這100個(gè)隊(duì)員中隨機(jī)抽取9名隊(duì)員參加成語聽寫抽測(cè)，抽測(cè)的成績?cè)O(shè)有A、B、C三個(gè)等級(jí)，分別對(duì)應(yīng)5分，4分，3分，抽測(cè)的結(jié)果恰好各有3名隊(duì)員進(jìn)入三個(gè)級(jí)別．現(xiàn)從這9名隊(duì)員中隨機(jī)抽取n名隊(duì)員（假設(shè)各人被抽取的可能性是均等的，1≤n≤9），再將抽取的隊(duì)員的成績求和．
（Ⅰ）當(dāng)n=3時(shí)，記事件A={抽取的3人中恰有2人級(jí)別相同}，求P（A）；
（Ⅱ）當(dāng)n=2時(shí)，若用ξ表示n個(gè)人的成績和，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）由已知條件利用等可能事件概率計(jì)算公式能求出事件A={抽取的3人中恰有2人級(jí)別相同}的概率．
（2）由題意得ξ的可取值為6、7、8、9、10，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）從這100個(gè)隊(duì)員中隨機(jī)抽取9名隊(duì)員員參加成語聽寫抽測(cè)，
抽測(cè)的成績?cè)O(shè)有A、B、C三個(gè)等級(jí)，分別對(duì)應(yīng)5分，4分，3分，抽測(cè)的結(jié)果恰好各有3名隊(duì)員進(jìn)入三個(gè)級(jí)別．
現(xiàn)從這9名隊(duì)員中隨機(jī)抽取3名隊(duì)員，事件A={抽取的3人中恰有2人級(jí)別相同}，
則$P（A）=\frac{C_3^1C_3^2C_6^1}{C_9^3}=\frac{9}{14}$…（4分）
（2）由題意得ξ的可取值為6、7、8、9、10，…（6分）
$P（ξ=6）=\frac{C_3^2}{C_9^2}=\frac{1}{12}$，
$P（ξ=7）=\frac{C_3^1C_3^1}{C_9^2}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$，
$P（ξ=8）=\frac{C_3^2+c_3^1C_3^1}{C_9^2}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，
$P（ξ=9）=\frac{c_3^1C_3^1}{C_9^2}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$，
$P（ξ=10）=\frac{C_3^1}{C_9^2}=\frac{1}{12}$，
ξ分布列如下：

ξ	6	7	8	9	10
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{12}$

…（10分）       
Eξ=$6×\frac{1}{12}+7×\frac{1}{4}+8×\frac{1}{3}+9×\frac{1}{4}+10×\frac{1}{12}$=8…．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．