Question

7．甲、乙兩袋中各裝有大小相同的小球9個，其中甲袋中紅色、黑色、白色小球的個數分別為2，3，4，乙袋中紅色、黑色、白色小球的個數均為3，某人用左右手分別從甲、乙兩袋中取球．
（1）若左右手各取一球，求兩只手中所取的球顏色不同的概率；
（2）若左右手依次各取兩球，稱同一手中兩球顏色相同的取法為成功取法，記兩次取球（左右手依次各取兩球為兩次取球）的成功取法次數為隨機變量X，求X的分布列．

Answer 1

分析 （1）設事件A為“兩手所取的球不同色”，利用對立事件概率計算公式能求出兩只手中所取的球顏色不同的概率．
（2）依題意，X的可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）設事件A為“兩手所取的球不同色”，
則P（A）=1-$\frac{2×3+3×3+4×3}{9×9}$=$\frac{2}{3}$．…（5分）
（2）依題意，X的可能取值為0，1，2．
左手所取的兩球顏色相同的概率為$\frac{{C}_{2}^{2}+{C}_{3}^{2}+{C}_{4}^{2}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{5}{18}$，
右手所取的兩球顏色相同的概率為$\frac{{C}_{3}^{2}+{C}_{3}^{2}+{C}_{3}^{2}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
P（X=0）=（1-$\frac{5}{18}$）（1-$\frac{1}{4}$）=$\frac{13}{18}×\frac{3}{4}$=$\frac{13}{24}$，
P（X=1）=$\frac{5}{18}×（1-\frac{1}{4}）+（1-\frac{5}{18}）×\frac{1}{4}$=$\frac{7}{18}$，
P（X=2）=$\frac{5}{18}×\frac{1}{4}=\frac{5}{72}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{13}{24}$	$\frac{7}{18}$	$\frac{5}{72}$

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列及數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．