Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱.

（1）求直線的方程；

（2）設(shè)圓與圓交于點(diǎn)、，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

根據(jù)題意知,所求的直線與直線垂直,且經(jīng)過(guò)的中點(diǎn),分別求出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo),然后代入點(diǎn)斜式求解即可.

由（1）得：直線的方程為，由圓和圓關(guān)于直線對(duì)稱可知,圓的半徑與圓的半徑相等為,利用弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng),要使的面積最大，只需點(diǎn)到直線的距離最大,結(jié)合圖形可知,當(dāng)時(shí),的面積最大,求出此時(shí)的面積即可.

（1）把圓的方程化為，

所以圓心，半徑為，因?yàn)?/span>，

所以的中點(diǎn)為，.

由已知條件得，所求直線與直線垂直,且經(jīng)過(guò)的中點(diǎn),

即直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且斜率，

所以所求直線方程為，

即即為所求的直線方程.

（2）由（1）得：直線的方程為，

由點(diǎn)到直線的距離公式可得,

圓心到直線的距離為,

因?yàn)閳A和圓關(guān)于直線對(duì)稱,

所以圓的半徑與圓的半徑相等為，

所以弦長(zhǎng)，

要使的面積最大，只需點(diǎn)到直線的距離最大,

結(jié)合圖形可知,當(dāng)時(shí)，的面積最大，

此時(shí)點(diǎn)到直線的距離為，

此時(shí)的面積為.

所以面積的最大值為.