Question

18．設(shè)$f（x）=\frac{4^x}{{{4^x}+2}}$，若0＜a＜1，則f（a）+f（1-a）=1，$f（\frac{1}{2015}）+f（\frac{2}{2015}）+f（\frac{3}{2015}）+…+f（\frac{2014}{2015}）$=1007．

Answer 1

分析 由已知中$f（x）=\frac{4^x}{{{4^x}+2}}$，可得當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（a）+f（1-a）=1，進(jìn)而得到$f（\frac{1}{2015}）+f（\frac{2}{2015}）+f（\frac{3}{2015}）+…+f（\frac{2014}{2015}）$的值．

解答 解：∵$f（x）=\frac{4^x}{{{4^x}+2}}$，
∴當(dāng)0＜a＜1時(shí)，
f（a）+f（1-a）=$\frac{{4}^{a}}{{4}^{a}+2}$+$\frac{{4}^{1-a}}{{4}^{1-a}+2}$=$\frac{{4}^{a}}{{4}^{a}+2}$+$\frac{{4}^{1-a}•{2}^{2a-1}}{{（4}^{1-a}+2）•{2}^{2a-1}}$=$\frac{{4}^{a}}{{4}^{a}+2}$+$\frac{{2}^{\;}}{{4}^{a}+2}$=1，
故$f（\frac{1}{2015}）+f（\frac{2}{2015}）+f（\frac{3}{2015}）+…+f（\frac{2014}{2015}）$=1007×1=1007，
故答案為：1，1007．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)求值，指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，其中根據(jù)已知中的函數(shù)解析式，求出當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（a）+f（1-a）=1，是解答的關(guān)鍵．