Question

8．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，sinx），$\overrightarrow$=（sin²x，cosx），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f（α）=$\frac{3}{4}$，且α∈[0，$\frac{π}{2}$]，求sin2α的值．

Answer 1

分析 （1）首先，根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，得到函數(shù)解析式，然后，利用輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求解即可；
（2）可以結(jié)合（1），利用兩角和與差的三角函數(shù)展開(kāi)即可求解其值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$
=sin²x+sinxcosx
=$\frac{1}{2}$（1-cos2x）+$\frac{1}{2}$sin2x
=$\frac{1}{2}$（sin2x-cos2x）+$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$．
∴f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$．
令-$\frac{π}{2}+2kπ≤$2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{π}{4}$+2kπ≤2x≤$\frac{3π}{4}$+2kπ，
∴-$\frac{π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{3π}{8}$+kπ，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間[-$\frac{π}{8}$+kπ，$\frac{3π}{8}$+kπ]，（k∈Z），
（2）∵f（α）=$\frac{3}{4}$，且α∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴f（α）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2α-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4}$，
∴sin（2α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∵α∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2α∈[0，π]，
∴2α-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∵0＜sin（2α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{4}$＜$\frac{1}{2}$，
∴2α-$\frac{π}{4}$∈[0，$\frac{π}{6}$]，
∴cos（2α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{14}}{4}$，
∴sin2α=sin[（2α-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]
=sin（2α-$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$+cos（2α-$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{4}$+$\frac{\sqrt{14}}{4}×\frac{\sqrt{2}}{2}$
=$\frac{1+\sqrt{7}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)的單調(diào)性、二倍角公式等知識(shí)，屬于中檔題．