Question

已知數(shù)列{a_n}中，前n項和為S_n，a₂+a₃=5，且S_n=

n

2

a_n+

n

2

，則S₁₀=

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由S_n=

n

2

a_n+

n

2

，可得當(dāng)n≥2時，Sn-1=

n-1

2

an-1+

n-1

2

，可得（n-2）a_n-（n-1）a_n-1+1=0，又（n-1）a_n+1-na_n+1=0，相減可得a_n+1+a_n-1=2a_n．?dāng)?shù)列{a_n}是等差數(shù)列，進而得出．

解答： 解：∵S_n=

n

2

a_n+

n

2

，
∴當(dāng)n≥2時，Sn-1=

n-1

2

an-1+

n-1

2

，
∴an=

n

2

an-1-

n-1

2

an-1+

1

2

，
化為（n-2）a_n-（n-1）a_n-1+1=0，
又（n-1）a_n+1-na_n+1=0，
∴（n-1）a_n+1-2（n-1）a_n+（n-1）a_n-1=0，
∴a_n+1+a_n-1=2a_n．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
∵S_n=

n

2

a_n+

n

2

，取n=1，可得a1=

1

2

a1+

1

2

，a₁=1，
取n=3，可得1+a₂+a₃=

3

2

a3+

3

2

，又a₂+a₃=5，解得，a₂=2，a₃=3．
∴等差數(shù)列{a_n}的首項為1，公差為1，
∴a_n=n．
則Sn=

n(n+1)

2

，
∴S₁₀=

10×11

2

=55．
故答案為：55．

點評：本題考查了遞推式的應(yīng)用、等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．