Question

15．設(shè)非零向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角是$\frac{5π}{6}$，且$|\overrightarrow a|=|\overrightarrow a+\overrightarrow b|$，則$\frac{|2\overrightarrow a+t\overrightarrow b|}{|\overrightarrow b|}$（t∈R）的最小值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 對(duì)$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|$兩邊平方，便可得到$|\overrightarrow|=\sqrt{3}|\overrightarrow{a}|$，從而得到$\frac{（2\overrightarrow{a}+t\overrightarrow）^{2}}{{\overrightarrow}^{2}}={t}^{2}-2t+\frac{4}{3}$，這樣根據(jù)二次函數(shù)的最值公式即可得到${t}^{2}-2t+\frac{4}{3}$的最小值，從而得出$\frac{|2\overrightarrow{a}+t\overrightarrow|}{|\overrightarrow|}$的最小值．

解答 解：由條件：${\overrightarrow{a}}^{2}=（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}$；
∴$-\sqrt{3}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|+{\overrightarrow}^{2}=0$；
∴$|\overrightarrow|=\sqrt{3}|\overrightarrow{a}|$；
∴$\frac{（2\overrightarrow{a}+t\overrightarrow）^{2}}{{\overrightarrow}^{2}}=\frac{4{\overrightarrow{a}}^{2}-6t{\overrightarrow{a}}^{2}+3{t}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}}{3{\overrightarrow{a}}^{2}}$=${t}^{2}-2t+\frac{4}{3}≥\frac{\frac{16}{3}-4}{4}=\frac{1}{3}$；
∴$\frac{|2\overrightarrow{a}+t\overrightarrow|}{|\overrightarrow|}$的最小值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 考查數(shù)量積的運(yùn)算及其計(jì)算公式，以及二次函數(shù)的最值公式．