Question

2．已知F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）是橢圓C的兩個焦點(diǎn)，過F₂且垂直x軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=3，則C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$$+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0），根據(jù)題目條件得出a²-b²=1，①，$\frac{1}{{a}^{2}}$$+\frac{（\frac{3}{2}）^{2}}{^{2}}$=1，②由①②聯(lián)合求解即可．

解答 解：
設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0）
∵可得c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=1，
∴a²-b²=1，①AB經(jīng)過右焦點(diǎn)F₂且垂直于x軸，
且|AB|=3，
A（1，$\frac{3}{2}$），（1，-$\frac{3}{2}$），
代入方程得出：$\frac{1}{{a}^{2}}$$+\frac{（\frac{3}{2}）^{2}}{^{2}}$=1，②
聯(lián)合①②得出a²=4，b²=3，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$$+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{4}$$+\frac{{y}^{2}}{3}$=1

點(diǎn)評 本題考察了橢圓的幾何性質(zhì)，方程的求解，屬于中檔題，關(guān)鍵是運(yùn)用待定系數(shù)法求解，列出方程組即可．