Question

14．設(shè)n∈N^*，函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{{x}^{n}}$，函數(shù)g（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{n}}$，x∈（0，+∞）
（1）求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間和最值；
（2）若當(dāng)n=3時(shí)，對(duì)任意的x₁，x₂∈（0，+∞），都有f（x₁）≤t≤g（x₂）成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出函數(shù)的最值；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只需當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）_max≤t≤g（x）_min，只需求出f（x）的最大值和g（x）的最小值即可．

解答 解：（1）∵g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-n）}{{x}^{n+1}}$，令 g′（x）=0，解得：x=n．
當(dāng)x變化時(shí)，g′（x）與g（x）的變化如下表所示：

x	（0，n）	${e}^{\frac{1}{n}}$	（n，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）	↘	$\frac{{e}^{n}}{{n}^{n}}$	↗

所以函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，n）上為單調(diào)遞減，區(qū)間（n，+∞）上為單調(diào)遞增．
g（x）_min=$\frac{{e}^{n}}{{n}^{n}}$，無(wú)最大值．
（2）當(dāng)n=3時(shí)，函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{{x}^{3}}$，g（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{3}}$，x＞0．
由題意，若對(duì)任意的x₁，x₂∈（0，+∞），都有f（x₁）≤t≤g（x₂）恒成立，
只需當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）_max≤t≤g（x）_min．
因?yàn)閒′（x）=$\frac{1-3lnx}{{x}^{4}}$．令f′（x）=0，解得：x=${e}^{\frac{1}{3}}$．
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）與f（x）的變化如下表所示：

x	（0，${e}^{\frac{1}{3}}$）	${e}^{\frac{1}{3}}$	（${e}^{\frac{1}{3}}$，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↗	$\frac{1}{3e}$	↘

所以f（x）_max=f${（e}^{\frac{1}{3}}）$=$\frac{1}{3e}$；
又因?yàn)間′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-3）}{{x}^{4}}$．令 g′（x）=0，解得：x=3．
由（1）知g（x）_min=g（3）=$\frac{{e}^{3}}{27}$．
綜上所述，得$\frac{1}{3e}$≤t≤$\frac{{e}^{3}}{27}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，最值問(wèn)題，考察導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，本題是一道中檔題．