Question

12．已知數(shù)列{a_n}滿足（a_n+1-1）（a_n-1）=3（a_n-a_n+1），a₁=2，求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 利用已知條件構(gòu)造等差數(shù)列，然后求解數(shù)列{a_n}的通項公式

解答 解：（a_n+1-1）（a_n-1）=3（a_n-a_n+1），等價為（a_n+1-1）（a_n-1）=3[（a_n-1）-（a_n+1-1）]，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{3}$，
即數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是等差數(shù)列，首項為$\frac{1}{{a}_{1}-1}=\frac{1}{2-1}=1$，公差d=$\frac{1}{3}$，
則$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=1+$\frac{1}{3}$（n-1）=$\frac{n+2}{3}$，
則a_n-1=$\frac{3}{n+2}$，
即a_n=1+$\frac{3}{n+2}$=$\frac{n+5}{n+2}$．

點評 本題考查等差數(shù)列通項公式的求法，數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查計算能力．構(gòu)造等差數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵．