Question

7．已知橢圓4x²+y²=1及直線y=x+m，求直線被橢圓截得的線段AB最長時(shí)的直線方程．

Answer 1

分析 設(shè)直線與橢圓的公共點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），表示出|AB|，變形后利用韋達(dá)定理表示出兩根之和與兩根之積，代入化簡，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出|AB|最大值，以及此時(shí)m的值，即可確定出此時(shí)直線l的方程．

解答 解：聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}{4{x}^{2}+{y}^{2}=1}\\{y=x+m}\end{array}\right.$，
消去y得：5x²+2mx+m²-1=0，
由△=-16m²+20≥0，得-$\frac{\sqrt{5}}{2}$≤m≤$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
設(shè)直線與橢圓的公共點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{2}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{5}$$\sqrt{5-4{m}^{2}}$，
∵m∈[-$\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{\sqrt{5}}{2}$]，
∴當(dāng)m=0時(shí)，|AB|_max=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，此時(shí)直線l：y=x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系；關(guān)鍵是利用弦長公式得到關(guān)于m的式子，利用m的范圍求弦長最值．