Question

已知函數(shù)f（x）=lgx+

1

2-x

（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）證明：f（x）在（2，+∞）上為增函數(shù)；
（3）當x∈[3，5]時，求函數(shù)的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)單調性的判斷與證明,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）使函數(shù)有意義，即可求出f（x）的定義域；
（2）求f′（x），根據(jù)f′（x）的符號即可證明f（x）在（2，+∞）上為增函數(shù)；
（3）由（2）便知f（x）在[3，5]上單調遞增，這樣即可求f（x）的值域．

解答： 解：（1）使原函數(shù)有意義，則：x＞0，且x≠2；
∴函數(shù)f（x）的定義域為{x|x＞0，且x≠2}；
（2）f′（x）=

1

xln10

+

1

(2-x)2

＞0；
∴f（x）在（2，+∞）上為增函數(shù)；
（3）由（2）知f（x）在[3，5]是增函數(shù)，且f（3）=lg3-1，f（5）=lg5-

1

3

；
∴f（x）在[3，5]上的值域是[lg3-1，lg5-

1

3

]．

點評：考查函數(shù)的定義域，用導數(shù)證明函數(shù)的單調性，根據(jù)單調性求函數(shù)的值域．