Question

設(shè)函數(shù)f（x）=e^x（x²-ax+b），a，b∈R，其中e自然對數(shù)的底．
（Ⅰ）當(dāng)a=4時(shí)，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間[-

3

2

，+∞）上有兩個(gè)相距為

7

的極值點(diǎn)，求關(guān)于a的函數(shù)y=f（a-2）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=4時(shí)，f′（x）=e^x（x²-2x+b-4）=e^x[（x-1）²+b-5]，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）設(shè)f（x）在區(qū)間[-

3

2

，+∞）上的兩個(gè)相距為

7

的極值點(diǎn)為x₁，x₂，則|x₁-x₂|=

7

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)結(jié)合已知條件能求出a=5，b=

11

2

時(shí)，取到最小值-

1

2

e3．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=4時(shí)，f′（x）=e^x（x²-2x+b-4）=e^x[（x-1）²+b-5]，
∴當(dāng)b≥5時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞），
當(dāng)b＜5時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1-

5-b

]，[1+

5-b

，+∞）．
（Ⅱ）設(shè)f（x）在區(qū)間[-

3

2

，+∞）上的兩個(gè)相距為

7

的極值點(diǎn)為x₁，x₂，
則|x₁-x₂|=

7

，…（7分）
∵f′（x）=e^x•[x²-（a-2）x+b-a]，
∴x₁，x₂是方程x²-（a-2）x+b-a=0的兩實(shí)根，
∴

△＞0 x1+x2=a-2 x1x2=b-a

，…（9分）
∴a=x₁+x₂+2，b=x₁•x₂+x₁+x₂+2，
∴f（a-2）=f（x₁+x₂）=ex1+x2[（x₁+x₂）²-（x₁+x₂）（x₁+x₂+2）+x₁x₂+x₁+x₂+2]
=

1

4

ex1+x2[(x1+x2)2-4(x1+x2)+1]，
令t=x₁+x₂，g（t）=

1

4

et(t2-4t+1)，
在（Ⅰ）中，令b=1及t=x₁+x₂≥-3+

7

＞-1，知g（t）_min=g（3）=-

1

2

e3．
∴y=f（a-2）_min=-

1

2

e3，
當(dāng)且僅當(dāng)a=5，b=

11

2

時(shí)，取到最小值-

1

2

e3．

點(diǎn)評：本題主要考查極值的概念、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查推理論證能力，分類討論等綜合解題能力．