Question

已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}前n項和為S_n，首項為a₁，且2，a_n，S_n成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=log₂a_n，c_n=

1

bnbn+1

，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）當n≥2時，S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2，兩式相減，得a_n=2a_n-2a_n-1，整理，得

an

an-1

=2．判定出{a_n}是等差數(shù)列，通項公式易求．
（2）由（1）a_n=2ⁿ，則bn=log22n=n，得出cn=

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，裂項后計算化簡求和．

解答： 解：（1）由題意知，2a_n=S_n+2，a_n＞0．
當n=1時，2a₁=a₁+2，∴a₁=2，
當n≥2時，S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2，
兩式相減，得a_n=2a_n-2a_n-1，整理，得

an

an-1

=2．
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列．
∴a_n=a₁•2^n-1=2×2^n-1=2ⁿ
（2）由（1）知，a_n=2ⁿ，則bn=log22n=n，
∴cn=

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

故 Tn=c1+c2+…+cn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點評：本題考查數(shù)列的判定，通項公式，和的計算，考查轉(zhuǎn)化構(gòu)造，計算能力．本題中的數(shù)列求和法為裂項法．