Question

16．某校100名學生期末考試數(shù)學成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．
（Ⅰ）求圖中a的值，并根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名學生數(shù)學成績的平均分；
（Ⅱ）若用分層抽樣的方法從成績在[70，90）的學生中共抽取5人，則應從成績在[70，80）和[80，90）的學生中分別抽取幾人？
（Ⅲ）在（Ⅱ）已抽取的5人中，再隨機抽取2人，求成績在[70，80）和[80，90）的學生中各有一人的頻率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用頻率分布直方圖中小矩形的面積和為1，求得a值；
（Ⅱ）利用分層抽樣，即可求出應從成績在[70，80）和[80，90）的學生中分別抽取的人數(shù)；
（Ⅲ）設成績在[70，80）中的學生為a₁，a₂，a₃，成績在[80，90）中的學生為b₁，b₂，一一列舉出所有的基本事件，再找到成績在[70，80）和[80，90）的學生中各有一人的基本事件，利用古典概型概率公式計算．

解答 解：（Ⅰ）依題意得10×（2×0.005+0.02+a+0.04）=1，解得a=0.03…（2分）
∴這100名學生的數(shù)學平均分為：
55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，成績在[70，80）和[80，90）中的學生人數(shù)比為3：2，
∴用分層抽樣方法抽取成績在[70，80）和[80，90）中的學生人數(shù)分別為3人和2人．…（6分）
（Ⅲ）設成績在[70，80）中的學生為a₁，a₂，a₃，成績在[80，90）中的學生為b₁，b₂，
則從5人中選取2人的所有結果為：（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₂，a₃），（b₁，b₂），
（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₃，b₁），（a₃，b₂），共10個結果，…（10分）
而成績在[70，80）和[80，90）中各有一人的結果有：
（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₃，b₁），（a₃，b₂），共6個結果，
∴成績在[70，80）和[80，90）的學生中各有一人的概率為P=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$．…（12分）

點評 本題考查古典概型概率公式計算，考查了頻率分布直方圖的應用，關鍵是讀懂頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)含義．