Question

8．已知函數(shù)y=f（x）是R上的奇函數(shù)，且x＞0時，f（x）=lg（2x），若g（x）=sinπx，則函數(shù)y=f（x）與y=g（x）圖象公共點的個數(shù)為（　　）

• A． 8
• B． 9
• C． 10
• D． 11

Answer 1

分析 先求出g（x）的周期，并知道f（5）=1，從而x＞5時，f（x）和g（x）便沒有公共點了，這樣畫出f（x），g（x）在x正半軸的圖象，由圖象便可看出在x正半軸f（x），g（x）的公共點個數(shù)，根據(jù)f（x），g（x）都關(guān)于原點對稱，從而在x負(fù)半軸f（x），g（x）公共點個數(shù)等于在正半軸的公共點個數(shù)，并容易看出原點是f（x），g（x）的公共點，這樣即可得出f（x），g（x）圖象的公共點個數(shù)．

解答 解：g（x）的周期為2，且x=5時，f（5）=1，x=$\frac{1}{2}$時，f（$\frac{1}{2}$）=0；
∴畫出x＞0時f（x）和g（x）的圖象：
由圖象可看出x＞0時，f（x）與g（x）的圖象有5個公共點；
據(jù)f（x），g（x）都為奇函數(shù)，
∴f（x），g（x）的圖象都關(guān)于原點O對稱；
∴x＞0時f（x），g（x）的5個公共點關(guān)于原點的對稱點便是x負(fù)半軸的f（x），g（x）圖象的公共點；
又（0，0）∈f（x），（0，0）∈g（x），即原點是f（x），g（x）的公共點；
∴函數(shù)y=f（x）與y=g（x）圖象公共點的個數(shù)為11．
故選D．

點評 考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的周期公式及其值域，數(shù)形結(jié)合解題的方法，奇函數(shù)圖象的對稱性，奇函數(shù)f（x）在原點有定義時，f（0）=0．