Question

5．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{e}$是同一平面內(nèi)的三個向量，且|$\overrightarrow{e}$|=1，$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$=2，$\overrightarrow$•$\overrightarrow{e}$=1，當(dāng)|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|取得最小值時，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{e}$夾角的正切值等于（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，分別以$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$為x、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)$\overrightarrow{e}$與$\overrightarrow{a}$的夾角為θ，則$\overrightarrow{e}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{2}$-θ，θ為銳角；用數(shù)量積求出|$\overrightarrow{a}$|、|$\overrightarrow$|的值，計算|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|取得最小值時$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{e}$夾角的正切值即可．

解答 解：根據(jù)題意，分別以$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$為x、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)$\overrightarrow{e}$與$\overrightarrow{a}$的夾角為θ，則$\overrightarrow{e}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{2}$-θ，θ為銳角；
∵|$\overrightarrow{e}$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$=2，$\overrightarrow$•$\overrightarrow{e}$=1，
∴|$\overrightarrow{a}$|•cosθ=2，|$\overrightarrow$|•cos（$\frac{π}{2}$-θ）=|$\overrightarrow$|•sinθ=1，
∴|$\overrightarrow{a}$|=$\frac{2}{cosθ}$，|$\overrightarrow$|=$\frac{1}{sinθ}$；
∴${|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}^{2}$=${|\overrightarrow{a}|}^{2}$-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+${|\overrightarrow|}^{2}$
=$\frac{4}{{cos}^{2}θ}$+$\frac{1}{{sin}^{2}θ}$
=（$\frac{4}{{cos}^{2}θ}$+$\frac{1}{{sin}^{2}θ}$）（sin²θ+cos²θ）
=5+$\frac{{4sin}^{2}θ}{{cos}^{2}θ}$+$\frac{{cos}^{2}θ}{{sin}^{2}θ}$≥5+2$\sqrt{\frac{{4sin}^{2}θ}{{cos}^{2}θ}•\frac{{cos}^{2}θ}{{sin}^{2}θ}}$=9，
當(dāng)且僅當(dāng)2sin²θ=cos²θ，即tanθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時“=”成立；
此時|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|取得最小值3，且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{e}$夾角的正切值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積與基本不等式的應(yīng)用問題，是中檔題．