Question

10．設(shè)α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），且tanα=$\frac{1+sinβ}{cosβ}$，求證：2α-β=$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 由條件可得sinαcosβ=cosα+cosβsinβ，即sin（α-β）=cosα=sin（$\frac{π}{2}$-α），故有α-β=$\frac{π}{2}$-α，由此可得結(jié)論．

解答 解：α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），且tanα=$\frac{1+sinβ}{cosβ}$，∴$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{1+sinβ}{cosβ}$，∴sinαcosβ=cosα+cosβsinβ，
∴sin（α-β）=cosα=sin（$\frac{π}{2}$-α）．
再根據(jù)α-β∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），$\frac{π}{2}$-α∈（0，$\frac{π}{2}$），
可得 α-β=$\frac{π}{2}$-α，∴2α-β=$\frac{π}{2}$成立．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角差的正弦公式、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．