Question

13．如圖，某市準備在道路EF的一側(cè)修建一條運動比賽賽道，賽道的前一部分為曲線段FBC，該曲線段是函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，o＜ω＜π）在x∈[-4，0]時的圖象，且圖象的最高點為B（-1，2）；賽道的中間部分是長為$\sqrt{3}$千米的直線跑道CD，且CD∥EF；賽道的后一部分是以O(shè)為圓心的一段圓弧DE．
（1）求y=Asin（ωx+φ）的解析式和∠DOE的弧度數(shù)；
（2）若要在圓弧賽道所對應(yīng)的扇形ODE區(qū)域內(nèi)建一個“矩形草坪PQMN”，矩形的一邊MN在道路EF上，一個頂點Q在半徑OD上，另外一個頂點P在圓弧DE上，且設(shè)∠POE=θ，求“矩形草坪PQMN”面積S的最大值，以及S取最大值時θ的值．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式，從而求得∠COD=$\frac{π}{4}$ 和∠DOE的值．
（2）由條件求得矩形草坪面積為S=$\sqrt{6}$sinθ（$\sqrt{6}$cosθ-$\sqrt{6}$sinθ），再利用三角恒等變換、正弦函數(shù)的定義域和值域求得S的最大值以及此時θ的值．

解答 解：（1）由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象可得A=2，$\frac{T}{4}$=-1-（-4）=$\frac{π}{2ω}$，∴ω=$\frac{π}{6}$．
再根據(jù)五點法作圖可得$\frac{π}{6}×（-4）$+φ=0，求得φ=$\frac{2π}{3}$，故該曲線段是函數(shù)y=2sin（$\frac{π}{6}$x+$\frac{2π}{3}$）．
當(dāng)x=0時，y=OC=2sin$\frac{2π}{3}$=$\sqrt{3}$，又 CD=$\sqrt{3}$，∴∠COD=$\frac{π}{4}$，從而得到∠DOE=$\frac{π}{4}$．
（2）OD=$\sqrt{2}$OC=$\sqrt{6}$，易知當(dāng)矩形草坪面積最大時，點P在DE弧上，故OP=$\sqrt{6}$．
設(shè)∠POE=θ，θ∈（0，$\frac{π}{4}$），則矩形草坪面積為S=$\sqrt{6}$sinθ（$\sqrt{6}$cosθ-$\sqrt{6}$sinθ）
=6（sinθcosθ-sin²θ）=6（$\frac{1}{2}$sin2θ+$\frac{1}{2}$cos2θ-$\frac{1}{2}$）=3$\sqrt{2}$sin（2θ+$\frac{π}{4}$）-3，
再根據(jù)2θ+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），可得當(dāng)2θ+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{π}{8}$時，矩形草坪面積為S取得最大值為3$\sqrt{2}$-3．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，三角恒等變換、正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．